Matemática - Professor Fabio

quinta-feira, 9 de julho de 2015

Boa tarde gente,

Vamos agora resolver um exercício sobre logaritmo que caiu na FUVEST 2011.

23) Seja x>0 tal que a sequência: $a_{1} = \log_{2}x$ $a_{2} = \log_{4}4x$ $a_{3} = \log_{8}8x$
forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, $a_{1}+ a_{2}+a_{3}$ é igual a:

$a) \frac{13}{2}$

$b) \frac{15}{2}$

$c) \frac{17}{2}$

$d) \frac{19}{2}$

$e) \frac{21}{2}$

Resolução.

Primeiro vamos transformar os logaritmos, já que eles estão em bases diferentes, vamos adotar base 2 e usar as propriedades de logaritmo do produto.

$a_{1} = \log_{2}x$

$a_{2} = \frac{\log_{2}4x}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}4+\log_{2}x}{2} = \frac{2+\log_{2}x}{2}$

$a_{3} = \frac{\log_{2}8x}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}8+\log_{2}x}{3} = \frac{3+\log_{2}x}{3}$

Como eles formam uma PA, temos:

$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$

para facilitar as contas vamos fazer a seguinte substituição.

$y = \log_{2}x$

Dessa forma temos :

$\frac{2+y}{2} - y = \frac{3+y}{3}-\frac{2+y}{2}$

$\frac{6+3y-6y}{6} = \frac{6+2y-6-3y}{6}$

$6-3y = -y$

$6 = 2y$

Portanto y = 3

$a_{1}+a_{2}+a_{3}=3 + \frac{2+3}{2}+\frac{3+3}{3}= 3 + \frac{5}{2}+2=5+\frac{5}{2} = \frac{15}{2}$

Portanto alternativa b)

Bons estudos a todos.

Matemática - Professor Fabio

Dedicatória

quinta-feira, 9 de julho de 2015

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